角運動量保存則


Landauの力学P24にこんな記述がある。
上述の導き方からわかるとおり、外場がある軸について対称であれば角運動量のその軸について対称であれば、角運動量のその軸への射影はいつでも保存される。
これについて証明を簡単にではあるがまとめておく。





テキストでは球座標で角運動量を議論しているが、円筒座標のほうがこの議論に関しては適しているので、ここでは円筒座標$(r, \varphi , z)$を用いる。

まず、外場がある軸(ここではその軸を$z$軸とする)について対称であるということから、ポテンシャルUが$r$によらない、すなわち$\varphi$と$z$に依存していることがわかる。
よってラグランジアンは$L=T-U(r,z)$となる。後に、ラグランジアンを微分するので準備しとこう。
\[ \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_a} = -\frac{\partial U}{\partial r}\mathbf{e_r}-\frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{e_z} \]

角運動量の微分は
\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum \mathbf{r}_a \times \mathbf{p_a} \\ &= \sum \mathbf{r}_a \times \dot{\mathbf{p}}_a + \mathbf{v}_a \times \mathbf{p}_a \\ &=\sum (r \mathbf{e_{r_a}} +z \mathbf{e_{z_a}} ) \times ( -\frac{\partial U}{\partial r}\mathbf{e_{r_a}}-\frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{e_{z_a}}) \\ &=\sum (r\frac{\partial U}{\partial z} - z\frac{\partial U}{\partial r})\mathbf{e_{\varphi_a}} \end{aligned} \] ここから、角運動量の$z$成分(すなわち$z$軸への射影)は保存されることがわかる。
$r$方向と$\varphi$方向については粒子ごとに方向が違う。

以上より軸対称な外場があるときの角運動量保存則が導けた。

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