微分方程式の関数変換、変数変換

2階の線形常微分方程式
$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} + p(t) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} +q(t) y =r(t) $$ の関数変換と変数変換をまとめる。




関数変換とは$y(t)=c(t)z(t)$のように$y$についての微分方程式だったのを$z$についての微分方程式に書き換えるものである。
実際、$y(t)=c(t)z(t)$を$t$で微分していくと
\[ y' = cz'+c'z \] \[ y'' = cz'' + 2c'z' + c''z \] となる。ここで「$'$」は$t$での微分をあらわす。
これらを、式(1)に代入すれば、
\[ (cz'' + 2c'z' + c''z) + p (cz'+c'z) +q cz = r \] \[ cz'' + (2c'+pc)z'+ (c''+pc' +q c)z = r \] のように変換できる。

次に変数変換とは、式(1)は $t$ が変数となっている微分方程式であるが、 これを $x$ が変数の微分方程式に変えるというものである。 この新しい変数 $x$ が $x=f(t)$ とあらわされるとしよう。このとき、 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f' \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \] \[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f' \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f' \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \] \[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + f''\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = {f'}^2 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + f'' \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \] と計算できるから、式(1)の微分方程式は
\[ ({f'}^2 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + f''\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}) + p f' \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +q y =r \] \[ {f'}^2 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + (f'' + p f' )\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +q y =r \] となる。もちろん、$p$、$q$、$r$の変数は$t$から$x$に変える。

このように変数変換と関数変換ができるのである。

これらは微分方程式の標準化などに利用できる。変数変換と関数変換を両方ともすることがある。このことについてはまた書きたい。

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